comment calculer la longueur d'un triangle rectangle avec une mesure et un angle
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Dans ce tuto le Papillon matheux on va découvrir comment calculer la longueur d'un triangle rectangle avec une mesure et un angle étape par étape et pour éclaircir davantage cette leçon on finira à donner des exemples sur la manière de calculer un cote de triangle rectangle.
Soit ABC un triangle rectangle en A.
On donne : un angle b^ et la longueur d’un segment AC
On veut calculer BC et AB.
[AC] étant le côté opposé à l'angle b^, on peut calculer BC avec sin b^ ; puis calculer AB avec tan b^
Sin (b) = AC/BC
Et
Tan(b) = AC/AB
Exemple :
Si on connaît un angle et un côté d'un triangle rectangle, on peut calculer les autres côtés.
Soit ABC un triangle rectangle en A.
On donne : b^ = 30° et AC = 5.
On veut calculer BC et AB.
[AC] étant le côté opposé à l'angle b^, on peut calculer BC avec sin b^ ; puis calculer AB avec tan b^
Calcul de BC :
sin b^ = AC/BC ; donc BC = AC/sin b^
BC = 5 ÷ sin 30° = 5 ÷ 0,5 = 10
• Calcul de AB :
tan b^ = AC/AB ; donc AB = AC/tan b^
AB = 5 ÷ tan 30° = 8,66
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Si ABC est un triangle rectangle en A, alors BC² =AB² + AC² .
Calculer BC. En donner la valeur arrondie au mm.
ABC est un triangle rectangle en A, donc j'utilise le théorème de Pythagore :
L'hypoténuse d'un triangle rectangle
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit dans un triangle rectangle. L'hypoténuse est par conséquent le plus grand des côtés du triangle. Il n'y pas d'hypoténuse dans un triangle qui ne soit pas rectangle.
En appliquant la propriété de Pythagore dans un triangle rectangle, il suffit de connaître la mesure des 2 côtés de l'angle droit pour pouvoir calculer la mesure de l'hypoténuse.
En effet les mesures des côtés d'un triangle ABC, rectangle en A, sont liées par la relation suivante :
BC2 = AC2 + AB2
Exemple de calculs de l'hypoténuse :
- Si les côtés de l'angle droit, dans un triangle rectangle, sont proportionnels à 3 et 4, alors l'hypoténuse sera proportionnelle à 5.
32 + 42 = 9 + 16 = 25 et √25 = 5
Soit k une constante réelle alors :
(k.3)2 + (k.4)2 = k2.(32 + 42) = k2.25 et √( k2.25) = k.5 CQFD
- Soit un triangle rectangle dont les mesures des côtés de l'angle sont égales à 4 cm et à 7 cm. La mesure de l'hypoténuse est égale à √65 soit environ 8,06 cm.
Rappelons ici theoreme de pythagore formule. Selon Pythagore, dans un triangle rectangle abc, c étant l'hypoténuse (le plus long côté), on a l'équation suivante : a2 + b2 = c2. C'est cette équation qui va nous permettre de trouver la hauteur de notre triangle !
Appelez les trois côtés a, b et c. Ce dernier côté est le plus long et est opposé à l'angle droit, mais aussi le côté du triangle de départ. Par contre, a sera le petit côté du triangle rectangle. Quant à b, ce sera tout bonnement la hauteur du triangle rectangle, celle que nous cherchons.
• Si on reprend notre triangle de c = 8 cm et a = 4
Faites l'application numérique avec l'équation de Pythagore. Le but est donc de trouver b, mais on calculera d'abord b2. Il faut élever c et a au carré, c'est-à-dire les multiplier par eux-mêmes. Ensuite, il faut ôter a2 de c2.
• 42 + b2 = 82 (formule de pythagore)
• 16 + b2 = 64
• b2 = 64 - 16 = 48
• b = √48 = 6,928 cm
Calcul de la hauteur de triangle rectangle avec l’aire :
1- Rappelons la formule de calcul de l'aire d'un triangle. La formule la plus courante est la suivante : A = 1/2bh, formule dans laquelle :
• A aire du triangle,
• B longueur de la base du triangle,
• h hauteur associée à la base précédente.
2- Observez votre triangle et récupérez les données connues. Dans le cas précis qu'on verra plus loin, on partira de l'hypothèse qu'on connait l'aire A. On aura également un des côtés qu'on appellera b. Si vous ne connaissez ni l'aire ni aucun côté, il faudra en passer par une autre méthode de calcul.
• N'importe quel côté du triangle peut servir de base, tout dépend de l'orientation du triangle sur la feuille. Si le côté connu n'est pas en bas, vous pouvez mentalement l'y ramener… ou faire pivoter la feuille.
3- Faites l'application numérique avec la formule A = 1/2bh. Comme on cherche h, les calculs sont alors les suivants : multipliez la base (b) par 1/2, puis divisez l'aire (A) par le résultat précédent. La valeur obtenue est la hauteur de votre triangle !
N'hésitez pas à poser vos questions dans les commentaires sur le sujet " comment calculer la longueur d'un triangle avec une mesure " ou un autre sujet mathématique. J’essayerai de répondre au maximum à vos questions.
Je resterai à votre disposition si vous avez des remarques ou des propositions pour améliorer cette leçon intituler " comment calculer un coté d un triangle rectangle avec une mesure"
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