Многомерный анализ, интегралы и ряды. МФТИ, Физтех-школа прикладной математики и информатики

Дата лекции: 24.02.22
Лектор: Лукашов Алексей Леонидович
Монтажер: Голицын Сергей
Оператор: Жильцов Игорь

00:00:00 — следствие 1: если f, g интегрируемы по Риману на отрезке, то их произведение тоже интегрируемо по Риману на отрезке. следствие 2: если g интегрируема по Риману, то abs(g) тоже интегрируем по Риману
00:04:49 — замечание 1: все результаты этого параграфа справедливы и для интеграла Римана—Стилтьеса
00:05:31 — замечание 2 (интеграл суммы равен сумме интегралов)
00:09:29 — параграф 3: другие определения интеграла
00:12:58 — теорема 1: интеграл как предел интегральных сумм
00:14:34 — лемма 1: если существует предел, то f ограничена на [a, b]
00:23:20 — доказательство теоремы 1: достаточность
00:31:50 — доказательство теоремы 1: необходимость (claim 1)
00:43:28 — общий случай claim 1
00:45:35 — claim 2 (неравенство о разбиениях P)
00:49:38 — замечание 1: утверждение теоремы 1 для интеграла Римана-Стилтьеса справедливо при дополнительном предположении: f или a — непрерывные
00:51:28 — замечание 2: если интеграл Римана-Стилтьеса определить как предел интегральных сумм, то свойство аддитивности не выполняется
00:54:15 — определение интеграла с переменным верхним пределом
00:56:54 — теорема 2: если f интегрируема по Риману на отрезке и ограничена на отрезке, то f интегрируема на отрезке
01:01:37 — следствие: если f непрерывна на [a, b], кроме конечного числа точек разрыва первого рода, то f интегрируема на отрезке [a, b]
01:05:18 — теорема 3: основные свойства интеграла с переменным верхним пределом
01:07:40 — доказательство теоремы 3: непрерывность
01:10:18 — доказательство теоремы 3: дифференцируемость
01:15:02 — теорема 4: основная теорема интегрального исчисления
01:19:28 — замечание 1: формула Ньютона — Лейбница иногда принимается за определение интеграла
01:21:10 — если функция имеет первообразную, она не обязана быть интегрируемой

свернуть