Der Vorzeichenwechsel einer Nullstelle bezieht sich auf das Verhalten der Funktionswerte in unmittelbarer Nullstellenumgebung. Eine Funktion kann die x-Achse schneiden und es findet ein Vorzeichenwechsel bei den Funktionswerten statt. Sie kann die x-Achse aber auch nur berühren und es findet kein Vorzeichenwechsel bei den Funktionswerten statt.
Ungerade Nullstellen sind Schnittstellen der Funktion mit der x-Achse und haben einen Vorzeichenwechsel.
Gerade Nullstellen sind Berührungsstellen der Funktion mit der x-Achse und haben keinen Vorzeichenwechsel.
Die Ableitungswerte für den Nachweis der Parität der Nullstellen spielen dabei eine wichtige Rolle.
Es ist damit mögliche einen rechnerischen Nachweis für das Verhalten der Funktion an der Nullstelle zu erbringen.
Bei ungeraden Nullstellen gilt:
f⁽²ⁿ⁺¹⁾(x₀) ≺ 0 ➔ mit Vorzeichenwechsel von + zu − (Schnitt der x-Achse von oben nach unten)
f⁽²ⁿ⁺¹⁾(x₀) ≻ 0 ➔ mit Vorzeichenwechsel von − zu + (Schnitt der x-Achse von unten nach oben)
Bei geraden Nullstellen gilt:
f⁽²ⁿ⁾(x₀) ≺ 0 ➔ ohne Vorzeichenwechsel von − zu − (Berührung der x-Achse von unten)
f⁽²ⁿ⁾(x₀) ≻ 0 ➔ ohne Vorzeichenwechsel von + zu + (Berührung der x-Achse von oben)
Der rechnerische Nachweis mit Hilfe der Ableitung für die Vorzeichen der Funktionswerte in Nullstellenumgebung ist eines der mächtigste Werkzeuge der Analysis. Es wird uns erlauben prägende Punkte mit ihrer Art zu bestimmen und uns auch nochmal bei den Polstellen begegnen.
00:00 - Einleitung
00:06 - Vorzeichenwechsel in Abhängigkeit der Parität
02:19 - Schnitt- und Berührungsstellen mit der x-Achse
03:09 - Nachweis Vorzeichenwechsel
03:24 - Ungerade Nullstellen mit Vorzeichenwechsel
05:15 - Gerade Nullstellen ohne Vorzeichenwechsel
06:55 - Allgemeine Nullstellenprüfung
10:30 - Zusammenfassung
12:12 - Ausblick
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