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Um den Grenzwert einer konvergenten Folge a_n zu bestimmen, muss der Limes angewandt werden. Dafür setzt man für n einen unendlich großen Wert ein und bestimmt den Grenzwert g. Bei Grenzwertbestimmungen muss immer die höchste Potenz betrachtet werden, da diese ausschlaggebend ist. Setzt sich eine Folge aus zwei konvergenten Folgen a_n und b_n zusammen, so können folgende Grenzwertsätze angewandt werden:
lim┬(n→∞)〖(a_n±b_n )=lim┬(n→∞)〖a_n±lim┬(n→∞)〖b_n 〗 〗 〗=g_a±g_b
lim┬(n→∞)〖(a_n∙b_n )=lim┬(n→∞)〖a_n∙lim┬(n→∞)〖b_n 〗 〗 〗=g_a∙g_b
lim┬(n→∞)〖(a_n/b_n )=lim┬(n→∞)〖a_n 〗/lim┬(n→∞)〖b_n 〗 〗=g_a/g_b
Dabei sind g_a und g_b die Grenzwerte der Folgen a_n und b_n.
Bestimme mit Hilfe der Grenzwertsätze den Grenzwert der Folge
f_n=(5n^2-5)/(2n^2+n) .
Der erste Schritt, um den Grenzwert einer solchen Folge zu bestimmen, ist das Teilen durch den höchsten auftretenden Exponenten. In diesem Fall n^2.
f_n=(5n^2-5)/(2n^2+n)=(5-5/n^2 )/(2+1/n)
Im Anschluss können die Grenzwertsätze angewandt werden.
Mit den beiden Grenzwertsätzen
lim┬(n→∞)〖(a_n±b_n )=lim┬(n→∞)〖a_n+lim┬(n→∞)〖b_n 〗 〗 〗
und
lim┬(n→∞)〖(a_n/b_n )=lim┬(n→∞)〖a_n 〗/lim┬(n→∞)〖b_n 〗 〗
ergibt sich der Grenzwert der gegebenen Folge zu:
lim┬(n→∞)〖(f_n )=(lim┬(n→∞)5-lim┬(n→∞)〖5/n^2 〗)/(lim┬(n→∞)2+lim┬(n→∞)〖1/n〗 )〗
Nun kann jeder Grenzwert einzeln bestimmt werden:
lim┬(n→∞)5=5 lim┬(n→∞)〖5/n^2 〗=5/∞^2 =0
lim┬(n→∞)2=2 lim┬(n→∞)〖1/n=1/∞〗=0
Diese können dann in die gegebene Folge eingesetzt werden, um den Grenzwert zu bestimmen:
lim┬(n→∞)〖(f_n )=(5-0)/(2+0)〗=5/2=2,5
Trainer: „Der Grenzwert von komplizierten Folgen kann immer mit Hilfe dieser Schritte ermittelt werden.“
1. Berechne die Grenzwerte der Folgen. Zerlege sie dafür in konstante Terme und Nullfolgen:
a) a_n=(4+n)/8n b) a_n=(8+√n)/(1/4 √n) c) a_n=(1/n+2n)/(6/n)
2. Bestimme die Grenzwerte mit Hilfe der Grenzwertsätze:
a) a_n=(2+n)/(3n+n^2 ) b) a_n=(3+2n)^2/(3+n)^2 c) a_n=(5n^2)/(8n^4-3n^2 )
3. Forme um und berechne dann den Grenzwert:
a) lim┬(n→∞)〖(√(n+2)-2√n〗) b) lim┬(n→∞)〖(n∙(n+2)^2/(n^3-5)〗)
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