Дзета-функция Римана была введена Эйлером в 1737-м году. Она может быть задана рядом ζ(s) = ∑ 1/n^s при тех значениях s, при которых этот ряд сходится. Я буду рассказывать, в основном, об обобщениях дзета-функции Римана — так называемой арифметической дзета-функции, которая ставится в соответствие диофантову уравнению (дзета-функция Римана соответствует «тривиальному» уравнению x=0).
Приблизительная программа курса:
* Дзета-функция Римана и произведение Эйлера. Гипотеза о нулях дзета-функции.
* Гауссовы числа и их дзета-функция. Количество представлений натурального числа в виде суммы двух квадратов.
* Дзета-функция квадратичного поля и представления чисел в виде x²+dy² при фиксированном d.
* Арифметическая дзета-функция, локальная дзета-функция и гипотезы Вейля (=Теоремы Делиня).
* Эллиптические кривые и гипотеза Бёрча и Свиннертона–Дайера.
* К-группа многообразий и мотивная дзета-функция.
Ожидается, что слушатели знают, что такое сумма ряда (хотя бы на интуитивном уровне), встречались с комплексными числами и конечными полями (хотя бы с полем из p элементов, где p — простое).
Федоров Роман Михайлович
Летняя школа «Современная математика»
г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
21-29 июля 2017 г.
Все лекции: [ Ссылка ]
