📚 MASTERCLASS Completa para AMAR la Geometría Diferencial, desde curvas, superficies hasta métrica Riemanniana y Variedades que se usan en RELATIVIDAD GENERAL de Albert Einstein 📚

0:00 Introducción
1:12 ¿Qué es la Geometría Diferencial?
3:28 La Curvatura en Geometría Diferencial
4:14 Curvas Parametrizables
6:31 ¿Qué es la Curvatura de una Curva?
7:36 El PODER de Serret-Frenet
8:42 El Teorema Fundamental de Curvas
10:28 Superficies Diferenciables
11:17 Plano Normal, Osculador y Rectificador
14:19 La Métrica de Riemann (Primera Forma Fundamental)
16:14 La Segunda Forma Fundamental
17:04 La Curvatura Gaussiana y el Teorema Egregio
19:23 La IMPORTANCIA de la Geometría Diferencial

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En matemáticas, la geometría diferencial es el estudio de la geometría usando las herramientas del análisis matemático y del álgebra multilineal. Los objetos de estudio de este campo son las variedades diferenciables, que generalizan la noción de superficie en el espacio euclídeo, así como las aplicaciones diferenciables entre ellas. Las variedades no tienen por qué tener una interpretación geométrica natural, ni tampoco tienen por qué estar inmersas en un espacio circundante: por ejemplo, el grupo lineal general tiene estructura de variedad diferenciable, pero no una interpretación geométrica intuitiva.​

Mientras que la topología diferencial se centra únicamente en las propiedades topológicas de las variedades, la geometría diferencial permite aplicar resultados conocidos del cálculo multivariable a las aplicaciones entre variedades. Además, es posible adscribir a cualquier variedad propiedades geométricas tales como distancias y ángulos si se le dota de una métrica de Riemann; y características como geodésicas y curvatura si se añade una conexión.

La geometría diferencial tiene importantes aplicaciones en física, especialmente en el estudio de la teoría de la relatividad general, donde el espacio-tiempo se describe como una variedad diferenciable.

Desde finales del siglo xix, la geometría diferencial se ha convertido en un campo que se ocupa, de forma más general, de las estructuras geométricas en variedades diferenciables. Una estructura geométrica es aquella que define alguna noción de tamaño, distancia, forma, volumen u otra estructura rigidizante. Por ejemplo, en geometría riemanniana se especifican distancias y ángulos, en geometría simpléctica se pueden calcular volúmenes, en geometría conforme sólo se especifican ángulos, y en teoría gauge se dan ciertos campos sobre el espacio. La geometría diferencial está estrechamente relacionada con la topología diferencial, que se ocupa de las propiedades de las variedades diferenciables que no dependen de ninguna estructura geométrica adicional (véase ese artículo para más información sobre la distinción entre los dos temas). La geometría diferencial también está relacionada con los aspectos geométricos de la teoría de ecuaciones diferenciales, también conocida como análisis geométrico.

La geometría diferencial encuentra aplicaciones en las matemáticas y en las ciencias naturales. El lenguaje de la geometría diferencial fue utilizado principalmente por Albert Einstein en su teoría de la relatividad general, y posteriormente por físicos en el desarrollo de la teoría cuántica de campos y el modelo estándar de la física de partículas. Fuera de la física, la geometría diferencial encuentra aplicaciones en química, economía, ingeniería, teoría de control, gráficos por ordenador y visión por ordenador, y recientemente en aprendizaje automático.

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