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Bei Potenzfunktionen mit negativem Exponenten entstehen sogenannte Hyperbeln. Für negative Exponenten kann man auch schreiben:
f x = x^-n = 1/x^n
Der Verlauf dieser Hyperbeln hängt vom Exponenten n ab. Die Symmetrie-eigenschaften gelten dabei weiterhin, wie bei allen anderen Potenzfunktionen auch. Gerade Exponenten führen zu Achsensymmetrie und ungerade zu Punktspiegelung. Verschiebungen in x- oder y-Richtung bzw. Stauchung und Streckung können wie beispielsweise bei quadratischen Gleichungen durchgeführt werden.
Achtung! Hyperbeln, die nicht in y-Richtung verschoben sind, besitzen keine Nullstelle. Dafür besitzen alle Hyperbeln eine sogenannte Polstelle. Diese tritt genau bei der Definitionslücke auf. Für große x-Werte nähert sich die Hyperbel dem y-Wert 0 an, sie wird diesen Wert allerdings nie erreichen. Diese Annäherung nennt man Asymptote.
Sophie: „Bei der Kajaktour zahlt jeder Teilnehmer 25 Euro. Zudem gibt es eine Buchungsgebühr von 50 Euro, die wir durch alle Teilnehmer teilen.“
Hannah: „Wie viel zahlt man denn je nach Anzahl? Kann man das graphisch sehen?“
Aus der Information, die Sophie dargestellt hat, kannst du dir eine Funktionsgleichung aufschreiben. Dabei ist die Variable x die Anzahl der Teilnehmer.
f x =50/x+25 oder f x =50x^-1 +25
Bei dieser Art von Funktionen handelt es sich um eine Hyperbel. Als Erstes kannst du dir am besten einmal die unveränderte Hyperbel 1/x anschauen. Dafür stellst du dir eine Wertetabelle auf. Die Definitionslücke bzw. Polstelle ist bei x=0, da man nicht durch Null teilen darf.
Nähert man sich der Definitionslücke an, so steigt der Funktionswert ins Unendliche, da der Nenner immer kleiner wird und somit der Bruch immer größer. Für kleine x (nahe Null) wird der Funktionswert unendlich groß und für große x nähert sich der Funktionswert asymptotisch der 0 an.
In diesem Graphen siehst du nun den Verlauf der Hyperbel f x = x^-1. Die Hyperbel, die Hannah wiederum aufstellen will, ist um den Faktor 50 gestreckt und um 25 nach oben verschoben. Daraus ergibt sich dann ein neuer Funktionsgraph.
So sieht die Funktion als Graph aus. Du musst dir dann immer überlegen, welcher Bereich überhaupt Sinn ergibt. Da du hier keine negative Anzahl von Teilnehmern haben kannst, brauchst du nur den positiven Abschnitt zu betrachten.
Hannah: „Wir sollten also möglichst viele Teilnehmer sein, damit sich der Preis pro Person 25 Euro annähert.“
