Prägende Punkte sind für das Aussehen einer Funktion verantwortlich und bestimmen maßgebend den Kurvenverlauf. Sie können in Extrempunkte, Sattelpunkte, Wendepunkte und Flachpunkte unterteilt werden.
Sie sind nicht direkt berechenbar, weshalb andere Funktionen gesucht werden, die genau dort Nullstellen besitzen, wo die prägenden Stellen liegen. Die anderen Funktionen sind dabei immer
Ableitungen.
Es wird immer die 1. Ableitung (= Anstieg) oder die 2. Ableitung (= Drehsinn) betrachtet.
Das Wichtigste ist dabei die Parität der erhaltenen Nullstellen. Ist diese bekannt, ist eine exakte Bestimmung der prägenden Punkte möglich und es ergibt sich folgende klare Begriffsstruktur:
Ungerade Nullstelle der 1. Ableitung = Schnittstelle mit Änderung des Anstiegs ➔ Extrempunkt (ohne Anstieg)
Gerade Nullstelle der 1. Ableitung = Berührungsstelle ohne Änderung des Anstiegs ➔ Sattelpunkt (ohne Anstieg)
Ungerade Nullstelle der 2. Ableitung = Schnittstelle mit Änderung des Drehsinns ➔ Wendepunkt (mit Anstieg)
Gerade Nullstelle der 2. Ableitung = Schnittstelle ohne Änderung des Drehsinns ➔ Flachpunkt (mit Anstieg)
Der Sattelpunkt wird oft als Spezialfall des Wendepunkts dargestellt, denn beim Sattel ändert sich auch der Drehsinn. Einige unterteilen sogar die Flachpunkte weiter in Wende- und Sattelpunkte.
Wird dem gefolgt, entsteht schnell eine Begriffsbredouille, denn es fehlt dann an Unterbegriffen:
Wenn Sattelpunkte auch Wendepunkte sind, wie sollen dann Wendepunkte genannt werden, die keinen Sattel haben? Und wieso werden dann Extrempunkte nicht als Spezialfall der Flachpunkte angesehen? Wenn Sattel- und Wendepunkte auch Flachpunkte sind, wie sollen dann Flachpunkte heißen, die weder Sattel- noch Wendepunkte sind?
Diese Lücken treten bei der obigen klaren Struktur nicht auf und fördern deshalb das Verständnis.
00:00 - Einleitung
00:18 - Markante Punkte
01:59 - Betrachtung des Anstiegs und des Drehsinns
03:21 - Anstiegsverhalten
05:50 - Extrempunkte (ohne Anstieg)
06:41 - Sattelpunkte (ohne Anstieg)
07:43 - Krümmungsverhalten
11:25 - Wendepunkte (mit Anstieg)
11:50 - Flachpunkte (mit Anstieg)
13:04 - Berechnung der prägenden Punkte
16:00 - Nullstellen der 1. Ableitung
17:54 - Nullstellen der 2. Ableitung
21:47 - Übersicht prägende Punkte
25:58 - Zusammenfassung
26:38 - Ausblick
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