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Werden Messwerte zu einem linearen Zusammenhang aufgenommen, so kommt es meist vor, dass diese Werte keine ideale Gerade darstellen. Die Messwerte weichen von einer Geraden leicht ab. Mit Hilfe einer Regressionsgeraden kann der lineare Zusammenhang dennoch dargestellt werden. Die Regression summiert die Abweichungen (zum Quadrat) der Messwerte und stellt so eine Gerade dar, die dem Verlauf der Punkte am besten entspricht, indem die Abweichungen minimal sind.
Im Sommer wird der Temperaturanstieg stündlich von 6 bis 15 Uhr gemessen. Dabei entstehen folgende Messwerte:
Uhrzeit [h] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Temperatur [°C] 20 19,2 23,1 25 24,2 25,7 27 31 30 33,5
Erstelle die Regressionsgerade zu den Messwerten. Wie groß ist die Temperaturzunahme pro Stunde?
Als Erstes sollten die Messwerte in einem Graphen dargestellt werden:
Dabei ist bereits zu erkennen, dass die Messwerte beinahe auf einer Geraden liegen könnten. Mit Hilfe des Taschenrechners kann eine Regressionsgerade meist direkt erstellt werden. Hier zeichnen wir per Hand eine Funktionsgerade, die ungefähr den Verlauf der Messwerte darstellt. Nun wählen wir zwei Punkte auf unserer gezeichneten Geraden und bestimmen daraus eine Funktionsgleichung.
Zum Beispiel: (10; 25) und (13,5; 30)
(I) 25=10m+b und (II) 30=13,5m+b
Aus (II)-(I) folgt m= 10/7
Einsetzen in (I) oder (II) ⟹ b= 75/7
Die Gleichung der Regressionsgeraden lautet also: y= 10/7 x+ 75/7
Wird die Gleichung mit einem Taschenrechner berechnet und angegeben, kann es durchaus sein, dass diese Werte abweichen.
Die stündliche Temperaturzunahme entspricht der Änderungsrate. Pro Stunde steigt die Temperatur um 10/7≈1,43 °C .
Trainer: „Stehen für einen Zusammenhang Messwerte zur Verfügung, so muss zu diesen Messwerten eine Regression gebildet werden, damit sich eine Funktionsgleichung zur weiteren Auswertung ergibt.“
1. Ermittle zu folgenden Messwerten die Regressionsgeraden. Erstelle dafür jeweils zunächst den Graphen und bilde eine grafische Lösung. Vergleiche diese dann mit der Regressionsgeraden aus dem Taschenrechner.
x -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
y 270 259 261 248 239 231 218 217 209 200
x 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
y 17 16,5 16,1 15,4 15 14,3 14,4 13,8 12,9 12,5
2. Während einer Messung sind Messfehler aufgetreten. Diese sollen vernachlässigt werden, da sie nicht dem linearen Verlauf der Messkette entsprechen. Bestimme zunächst die Regression mit den Messfehlern und dann ohne. Vergleiche beide Ergebnisse.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 7 9,4 18,8 14,2 16,2 9,7 20 22,5 24,7 27,3
3. Führe die lineare Regression für die folgenden Punkte exakt per Hand aus.
x 1 2 3 4
y 5 3 6 4
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