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Der Höhepunkt Deiner Mathe-Karriere steht an: MATHE ABI - ein wichtiger Tag! Um ein bisschen mit dabei zu sein, habe ich mir 24 Mathe-Abis aus verschiedenen Bundesländern und Jahrgängen ausgedruckt und mir die Analysis-Aufgaben zu Gemüte geführt. Hilfsmittelfreie Aufgaben, Aufgaben mit Hilfsmitteln, A-Teile, B-Teile, Pflichtteile und Wahlteile aus Bayern, Baden-Württemberg, NRW, Hessen, Brandenburg...
Ich habe mir folgende Frage gestellt: Gibt es in der Analysis Aufgabentypen oder klassische Formulierungen, die so oder so ähnlich immer und immer wieder im Mathe Abi drankommen. Aus meiner Recherche habe ich eine Übersicht für mich entwickelt und habe 14 Aufgabentypen herausgefiltert, die ich Dir in diesem Video vorstellen möchte. Es handelt sich um die reinen Aufgabentypen - ohne Sachzusammenhang. Im Video beziehe ich mich auf die "Klassiker" der Kurvendiskussion.
🟢 INHALT
0:00 - 2:03 Begrüßung
2:03 - 4:51 1. Definitionsbereich
4:51 - 6:55 2. Nullstellen
6:55 - 8:42 3. Achsenschnittpunkte
8:42 - 11:35 4. Grenzwerte
11:35 - 13:53 5. Stauchen und Strecken
13:53 - 16:22 6. Verschieben
16:22 - 18:32 7. Symmetrie
18:32 - 24:13 8. Extrempunkt
24:13 - 26:28 9. Monotonie
26:28 - 30:14 10. Wendepunkte
30:14 - 32:03 11. Krümmung
32:03 - 33:37 12. Mittlere Änderungsrate
33:37 - 35:40 13. Momentane Änderungsrate
35:40 - 39:10 14. Tangente
39:10 - 40:41 tippitoppi TopTipp und Verabschiedung
🟢 ZUSAMMENFASSUNG
1. DEFINITIONSBEREICH
Frage: Für welche Zahlen ist f definiert? Was darf ich für x in die Funktionsgleichung einsetzen?
Der Definitionsbereich umfasst (wenn es keine weiteren Einschränkungen gibt) alle reellen Zahlen. Bitte aufpassen bei Funktionsklassen:
1) Wurzeln (alles unter der Wurzel muss größer gleich Null sein)
2) Logarithmen (alles im Logarithmus muss größer als Null sein)
3) Brüche (der Nenner darf nicht Null sein)
2. NULLSTELLEN
Eine Nullstelle ist der x-Wert des Schnittpunktes des Graphen der Funktion mit der x-Achse.
Step 1: Notiere die notwendige Bedingung: f(xN) = 0
Step 2: Setze Null und löse die Gleichung
3. SCHNITTPUNKTE MIT DEN KOORDINATENACHSEN
Für die Achsenschnittpunkte gilt:
Sx (xN; 0) und Sy (0; f(0))
Wichtig: Schnittpunkte mit der x-Achse kann es unendlich viele geben, aber jeder Funktionsgraph kann nur maximal einen Schnittpunkt mit der y-Achse haben.
4. GRENZWERTE
Für die Bestimmung der Grenzwerte hast Du drei Möglichkeiten:
1) am Graph ablesen
2) Taschenrechner nutzen und sehr große bzw. sehr kleine Zahlen einsetzen
3) nachdenken und Dominanzordnungen berücksichtigen
5) STAUCHEN UND STRECKEN
Wenn eine Funktion mit einer positiven Zahl a multipliziert wird, dann gilt:
0 kleiner a kleiner 1: Graph wird in y-Richtung gestaucht (bzw. in x-Richtung gestreckt)
a größer 1: Graph wird in y-Richtung gestreckt (bzw. in x-Richtung gestaucht)
wenn a negativ ist, wird der Graph noch an der x-Achse gespiegelt.
6) VERSCHIEBEN
Verschiebung nach rechts um n LE: ersetze x gegen x-n
Verschiebung nach links um n LE: ersetze x gegen x+n
Verschiebung nach oben um n LE: addiere n zum gesamten Funktionsterm
Verschiebung nach unten um n LE: subtrahiere n vom gesamten Funktionsterm
7) SYMMETRIE
Achsensymmetrie:
f(x) = f(-x)
Punktsymmetrie:
f(-x) = -f(x)
8) EXTREMPUNTKE
Wichtig: in Extrempunkten ist die Steigung der Funktion Null und in Extrempunkten ändert der Graph sein Monotonieverhalten
Step 1: Notiere die notwendige Bedingung: f `(xE) = 0
Step 2: Bilde die erste Ableitung
Step 3: Setze Null und löse die Gleichung
Step 4: Überprüfe die hinreichende Bedingung (Vorzeichenwechsel in der Monotonietabelle)
Step 5: Berechne f(xE)
9) MONOTONIE
Step 1 – Step 4 siehe "Extrempunkte"
Step 5: Stelle die entsprechenden Intervalle auf, nutze die Monotonietabelle
10) WENDEPUNTKE
Wichtig: in Wendepunkten ist die Krümmung der Funktion Null und in Wendepunkten ändert der Graph sein Krümmungsverhalten
Step 1: Notiere die notwendige Bedingung: f ``(xW) = 0
Step 2: Bilde die zweite Ableitung
Step 3: Setze Null und löse die Gleichung
Step 4: Überprüfe die hinreichende Bedingung (Vorzeichenwechsel in der Krümmungstabelle)
Step 5: Berechne f(xW)
11) KRÜMMUNG
Step 1 – Step 4 siehe "Wendepunkte"
Step 5: Stelle die entsprechenden Intervalle auf, nutze die Krümmungstabelle
12) MITTLERE ÄNDERUNGSRATE
f(b)-(fa) / b-a
13) MOMENTANE ÄNDERUNGSRATE
f`(x0)
14) TANGENTE
Step 1: Notiere die allgemeine Tangentengleichung. t: y = mx + c
Step 2: Bilde f `(x0) – erhalte m
Step 3: Bilde f (x0) – erhalte y
Step 4: Setze alles in die allgemeine Tangentengleichung ein - berechne c
Step 5: Notiere die konkrete Tangentengleichung
Wenn Du diese Aufgabentypen beherrschst, hast Du in der Analysis (zumindest im Bereich der Kurvendiskussion) ein solides Fundament. Wenn Du Fragen dazu hast, melde Dich gern jederzeit bei mir.
Liebe Grüße
Dein Rick
