Integralrechnung - Rekonstruktion von Beständen

Ist die momentane Änderungsrate eines Sachverhalts gegeben, so kann man mit Hilfe des Graphen näherungsweise bestimmen, welche Gesamtänderung über einen Zeitraum entsteht.
Wird die momentane Änderungsrate über der Zeit aufgetragen, so ergibt sich die Gesamtänderung aus der Fläche unter der Kurve. Für eine konstante momentane Änderungsrate kann der Wert mit dem Zeitintervall multipliziert werden.
Gesamtänderung= momentane Änderungsrate∙Zeitintervall
Mathematisch ausgedrückt:

Änderung im Intervall 1 bis 2=f(x) ∙(x_2-x_1)

Besteht die Funktion aus mehreren zusammengesetzten Intervallen, so addierst du diese einzelnen Änderungen.

Es ist die Momentangeschwindigkeit eines LKW für eine 8-stündige Fahrt gegeben. Wie viele Kilometer hat er am Ende seiner Fahrt zurückgelegt?


In der Graphik ist die Momentangeschwindigkeit (momentane Änderungsrate des Weges) über der Zeit aufgetragen. Um nun die Gesamtänderung zu berechnen, unterteilst du den Graphen zunächst in verschiedene Intervalle.

Für jedes Intervall berechnest du nun die Fläche unter dem Graphen. Bei jedem Intervall handelt es sich um ein Rechteck. Für diese berechnet sich die Fläche aus der Multiplikation der beiden Seitenlängen. Die Einheiten werden dabei ganz normal miteinander verrechnet.

Dafür können wir die Formel f(x) ∙(x_2-x_1) benutzen.

Die Summe aus allen Intervallen ergibt 590 km. Der LKW hat in den 8 Stunden also 590 km zurückgelegt.

„Um die Fläche unter der Kurve zu berechnen, kannst du für konstante Änderungsraten die Änderungsrate mit dem Zeitintervall multiplizieren. Wie man die Fläche bei anderen Verläufen berechnet, lernst du in den folgenden Kapiteln.“

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