Enrique era el hijo único de la actriz del cine mexicano María Félix y de su primer esposo Enrique Álvarez Alatorre, un agente vendedor viajero, ingeniero y fabricante de zapatos.3
Estudió en colegios militares de Canadá, Estados Unidos y Francia. Se graduó con honores de ciencias políticas en la Universidad Nacional Autónoma de México y estudió para diplomático, pero a los 30 años decidió que su vocación estaba en la actuación. Se inició como actor en el cine en la película Simón del desierto en 1964; también trabajó en el teatro y la televisión.
Falleció el 24 de mayo de 1996 de un ataque al corazón, en México, Distrito Federal, a los 62 años de edad.4 Sus restos descansan, junto a los de su madre en el Panteón Francés en la Ciudad de México.
